求椭圆焦半径公式的详细推导过程

设M(m ，n)是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1(a>b>0)的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。

推导:r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e

可得:r1= e∣MN1∣= e(a^2/ c+m)= a+em，r2= e∣MN2∣= e(a^2/ c-m)= a-em。

所以:∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em

证明：

|PF1|²

=(x - c)² + y²

=[a²(x - c)² + a²y²]/a²

=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²y²]/a² 根据b²x² + a²y² = a²b² 

=[a²x² - 2a²cx + a²c² + a²b² - b²x²]/a²

=[(a²-b²)x² = 2a²cx + a²(b² + c²)]/a²

=[c²x² -2a²cx + a^4]/a²

=(a² - cx)²/a²

∴PF1 = (a² - cx)/a = a - (c/a)x = a - ex

同理可证：PF2 = a + ex

扩展资料：

椭圆的基本性质

1、范围：焦点在  轴上  ，  ；焦点在  轴上  ，  。

2、对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。

3、顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。

4、离心率：e=c/a或 e=√（1-b^2/a²）。

5、离心率范围：0

6、离心率越小越接近于圆，越大则椭圆就越扁。

7、焦点（当中心为原点时）：（-c，0），（c，0）或（0，c），（0，-c）。

焦半径是啥